Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như trường các thương của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .

Xét tập tích Decaters:

Z × Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}} = { ( a ; b ) | a ∈ Z , b ∈ Z ∗ } {\displaystyle \{(a;b)|a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} ^{*}\}}

Trên đó xác định một quan hệ tương đương:

( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a d = b c {\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right)\Leftrightarrow ad=bc}

lớp tương đương của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho b:

a / b = [ ( a , b ) ] ∼ {\displaystyle a/b={\left[(a,b)\right]}_{\sim }}

Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .Trên tập Z × Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}} định nghĩa các phép toán:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) {\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)} ( a , b ) × ( c , d ) = ( a c , b d ) {\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}

Khi đó nếu ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(a',b'\right)} và ( c , d ) ∼ ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \left(c,d\right)\sim \left(c',d'\right)}

thì ( a , b ) + ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) + ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)\sim \left(a',b'\right)+\left(c',d'\right)} ;và ( a , b ) × ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) × ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)\sim \left(a',b'\right)\times \left(c',d'\right)} .

Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .

Để xem Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là bộ phận của Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ta nhúng Z {\displaystyle \mathbb {Z} } vào Q {\displaystyle \mathbb {Q} } nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .